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SUITES DANS UN ESPACE MÉTRIQUE
2.4 Suites extraites, sous-suites
Définition :Soient (E, d) un espace métrique et ( un)nEN une suite de E.
On dit que (vn)nEN est une suite extraite (ou une sous-suite) de (un)nEN
s'il existe une application

Vn E N, Vn = Uip(n)Exemple : Soit (un)nEN, une suite d'éléments de E. Les suites (u2n+i)nEN,
( U3n)nEN, ( Un2 )nEN ... sont des suites extraites de la suite ( Un)nEN.
Remarque 2.2 On peut vérifier par une récurrence immédiate que
Vn EN, Cette propriété sera utilisée dans plusieurs preuves.
Proposition 2.11 Si une suite (un)nEN de E converge vers un élément l, alors
toute suite extraite de (un)nEN converge vers l.
Preuve. On considère une suite (un)nEN de E convergente vers un élément l de
E et une application

positif.
3N EN, Vn 2 N, d(un,l) < c.
On a,
Vn;:::: N, On déduit que
puis que la suite (uip(n))nEN est convergente vers l.
Définition : Soit (un)nEN une suite à valeurs dans E. On dit qu'un
élément a de E est valeur d'adhérence de la suite (un)nEN s'il est limite
d'une suite extraite de (un)nEN·