2.3. CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE
23
2. Montrer que cette propriété n'est pas toujours vraie si l'on se place dans un
espace métrique.
Solution.
1. On a B(x,r) c B1(x,r) car B1(x,r) est un fermé contenant B(x,r), donc
son adhérence. Montrons l'inclusion inverse. Soit y un élément de B1(x,r).
La suite (Yn)nEN*, définie par
Vn > 0,
1
Yn =X+ (1 - - )(y - x)
n
est une suite d'éléments de B(x, r) convergente vers y. Donc y appartient
à B(x,r). Nous avons prouvé que B1(x,r) c B(x,r). La double inclusion
étant démontrée,
B(x, r) = B1(x, r).
2. Considérons un ensemble E, contenant au moins deux éléments, muni de
la distance discrète (voir exemple 2 page 4). Soit x un élément de E. Nous
avons
B(x,l)={x}.
On remarque que {x} est un fermé de E, car {x} = B1(x, !). Donc
{x} = B(x, 1) = B(x, 1).
Or
B1(x, 1) = E.
2.3.3 Caractérisation séquentielle d'un fermé
Proposition 2.10 Une partie F d'un espace métrique (E, d) est fermée si et
seulement si toute suite de points de F convergente, converge vers un élément
de F.
Preuve. Considérons F une partie fermée de E et Un)nEN une suite d'éléments
de F convergente vers un élément de E noté l. D'après la proposition 2.8, page
22. lest un élément de F. F étant fermé, on a F = F. D'où lest élément de F.
Réciproquement, on considère une partie F de E, telle que toute suite de points
de F convergente, converge vers un élément de F. Montrons que F est fermé,
c'est-à-dire F = F. Soit x un élément de F. Nous savons, d'après la proposition
précédente, qu'il existe une suite Un)nEN d'éléments de F convergente vers x.
D'après notre hypothèse, x est élément de F. D'où F C F. L'inclusion inverse
étant toujours vérifiée, on a F = F.
4't