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SUITES DANS UN ESPACE MÉTRIQUE
(llflloo + ll9lloo) est donc un majorant de {Il (f + g)(x)ll/x EX}. La borne
supérieure étant le plus petit des majorants,
On vient de montrer que l'application 11.11 00 est une norme de l'espace vectoriel
B(X,E).
.ft
2.3.2 Caractérisation séquentielle de l'adhérence
Grâce à la proposition 1.14 page 15, nous avons une première caractérisation
des points adhérents à une partie A d'un espace métrique (E, d). En voici une
caractérisation séquentielle.
Proposition 2.8 Soient (E, d) un espace métrique et A une partie de E. Un
élément x de E appartient à A, l'adhérence de A, si et seulement si il existe
une suite de points de A qui converge vers x.
Preuve. Soit x un élément de A. Nous savons, d'après la proposition 1.14. page 15,
que d(x, A) = infaEA d(x, a) =O. Soit n un entier naturel. Choisissons un élément
an de A vérifiant,
1
d(x, an) ::; 2 n.
La suite (an)nEN est convergente vers x.
Réciproquement, on considère un élément x de E et une suite (an)nEN d'éléments
de A convergente vers x. Alors,
Ve> 0, 3no EN/ d(an 0 , x) < €.
On en déduit que d(x, A)= 0 et que x est un élément de A.
Corollaire 2.9 Soit A une partie de lR non vide.
1. Si A est majorée alors
supA E A,
2. Si A est minorée alors
inf A E A.
Preuve. Il suffit d'utiliser les propositions 2.6 et 2.8.
Exercice 2.2
1. On considère E un espace vectoriel normé, x un élément de E et
r un réel strictement positif. Montrer que