2.3. CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE
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3. 2 => 1
Considérons (an)nEN, une suite d'éléments de A convergente vers M, majorant de A. Soit c un réel strictement positif. Il existe un entier naturel no
vérifiant
IM - an 0 1 < é donc an 0 > M - é.
Ceci prouve que M est la borne supérieure de A.
Proposition 2. 7 Soit A une partie non vide et minorée de ~ et m un minorant de A. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. m est la borne inférieure de A.
2. Il existe une suite d'éléments de A convergente vers m.
3. Il existe une suite décroissante d'éléments de A convergente vers m.
Preuve. La preuve est laissée au lecteur.
Exercice 2.1 On considère X un ensemble non vide, (E, 11-11) un espace vectoriel réel
normé et B(X, E) l'espace vectoriel des applications définies sur X à valeurs dans E
et bornées. Montrer que l'application 11-lloo définie par:
\If E B(X,E), 11/lloo = sup 11/(x)ll,
xEX
est u'ne norme sur B(X, E).
Solution.
1.
11/lloo = 0 <=> sup 11/(x)ll = 0 <=> Vx EX, llf(x)ll = 0 <=> f =O.
xEX
2. Soit À E ~et f E B(X,E).
IÀlll!lloo est donc un majorant de {llV(x)ll/x E X}. Montrons qu'il est
borne supérieure de cet ensemble. Il existe une suite (xn)nEN d'éléments de X
telle que la suite (llf(xn)ll)nEN converge vers llflloo· La suite (llV(xn)ll)nEN
converge vers IÀlll!lloo· Ceci prouve que IÀlll!lloo = supxEX llÀf(x)ll, c'est-àdire
3. Soient f et g deux éléments de B(X, E). On a
\lx EX, Il(!+ g)(x)ll :::; llflloo + ll9lloo·