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SUITES DANS UN ESPACE MÉTRIQUE
Corollaire 2.5 L'ensemble des suites à valeurs dans E, convergentes pour la
norme li.li, est un sous-espace vectoriel de (A(N, E), +, .).
2.3 Caractérisation séquentielle
Plusieurs notions ont été précédemment caractérisées à l'aide du fameux c :
borne supérieure, borne inférieure, adhérence. Dans cette section, nous donnons
une caractérisation de ces notions à l'aide des suites. Il est important de connaître
ces deux types de caractérisation. En effet, pour certaines résolutions d'exercices,
ou démonstrations de théorèmes, il est préférable d'utiliser les epsilon, tandis
que, pour d'autres, on utilisera les suites. La section est complétée avec la caractérisation séquentielle d'une partie fermée. On verra d'autres caractérisations
séquentielles, en particulier celles de la continuité et de la limite, section 3.4, page
35.
2.3.1 Caractérisation séquentielle des bornes supérieure
et inférieure
Proposition 2.6 Soit A une partie non vide, majorée de ~ et M un majorant
de A. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. M est la borne supérieure de A.
2. Il existe une suite d'éléments de A convergente vers M.
3. Il existe une suite croissante d'éléments de A convergente vers M.
Preuve.
1. 1 :::} 3
Soit M la borne supérieure de A. Pour tout entier naturel. n, choisissons un
élément an de A vérifiant
1
M-- 2n
n -
Notons bn l'élément de A défini par bn = max{ao, · · · , an}· La suite (bn)nEN
est croissante et
VnEN,
donc
1
IM-bnl < 2n'
La suite (bn)nEN est une suite croissante d'éléments de A convergente vers
M.
2. 3 :::} 2
Évident