2.2. SUITES DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
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Nous obtenons
La suite ( Un)nEN est bornée.
2.2 Suites dans un espace vectoriel normé
Dans cette section, l'ensemble sur lequel nous travaillons est un espace vectoriel
sur lK (=IR. ou C), donc muni d'une loi de composition interne, l'addition, et d'une
loi de composition externe, la multiplication par un scalaire (réel ou complexe).
Considérons donc ( E, +, . ) un espace vectoriel.
Notation: On note
A(N,E)
l'ensemble des suites à valeurs dans E.
Définition : Dans l'ensemble A(N, E), on définit
1. Une loi de composition interne notée + : la somme de deux suites
U = ( Un)nEN et V = ( Vn)nEN est la suite U + V = (Un + Vn)nEN
2. Une loi de composition externe notée . : le produit de la suite U
par le scalaire A est la suite A.U = (Aun)nEN
Proposition 2.3 L'ensemble A(N, E), muni des lois + et . définies en 2.2,
est un espace vectoriel sur !K.
On munit désormais E d'une norme li.li et de la métrique associée à cette norme.
Proposition 2.4 On considère l, l' deux éléments de E et A, N deux scalaires.
Soient U, V deux suites à valeurs dans E convergentes respectivement vers l
et l'. Alors la su#e
AU +A'V
est convergente vers
Al+ A'l'.
Preuve. Soit e un réel strictement positif.
3no, /Vn 2:: no, llun - lll < e,
3n1, /Vn 2:: ni, llvn - l'll < ê.
Soit n2 = max{no,ni}. On obtient, pour tout entier n supérieur à n2,
ll(Aun+A'vn)-(Al+A'l')ll S IAlllun-lll+INl.llvn-l'll S (IAl+IA'l)e < (IAl+IA'l+l)e.
Ceci prouve la convergence de AU+ NV vers Al+ Nl'.
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