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SUITES DANS UN ESPACE MÉTRIQUE
Preuve. Montrons l'unicité de la limite d'une suite convergente. Considérons l
et l', deux éléments de E, limite d'une suite (un)nElll· Soit € un réel strictement
positif.
3no EN, 'r/n 2:: no, d(un, l) < €,
3n1EN, 'r/n2::n1, d(un,l')<é.
Soit n2 =max( no, ni). On a,
On en déduit que d(l, l') =O. La limite, si elle existe est unique.
Exemple : Soit a un nombre réel vérifiant lai < 1. La suite réelle ( un)nE!ll définie
par
'r/n EN, Un= an
est une suite convergente vers O.
En effet, considérons un réel strictement positif€. On supposera dans un premier
temps a"# O. On a, sachant que ln(lal) est strictement négatif
lan - OI < € {::} nln(lal) < lné {::} n > 1 ~~=1).
On notera, pour tout réel x, E(x) la partie entière de x et x+ le réel max{x,O}.
Choisissons n0 =(E( 1 ~(1~1)+1))+. Nous obtenons
'r/n 2:: no, lan - OI < €.
La suite ( Un)nEN est donc convergente vers O.
Le cas a = 0 est laissé au lecteur.
Il Définition : Une suite non convergente est divergente.
Il
Définition : On dit qu'une suite (un)nEN est bornée si la partie de E,
{ Un/n E N}, est bornée.
Proposition 2.2 Une suite convergente est bornée.
Preuve. Considérons une suite (un)nEN convergente vers un élément l de E.
3N EN, 'r/n 2:: N, d(un,l):::; 1.
Notons,
M = max{d(uo,l), · · · ,d(u(N-1),l), 1}.