Chapitre 2
Suites dans un espace métrique
2.1 Définitions, convergence
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. On appelle suite dans E,
une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans E. Elle
est souvent notée (un)nEN·
Les définitions suivantes sont données pour des suites définies sur N.
Définition : Une suite (un)nEN est
* Constante si
* Stationnaire si
3p EN, Vn 2: p, Un+i =Un·
* Périodique s'il existe un entier strictement positif p vérifiant,
Vn EN, Un+p =Un.
Théorème-définition 2.1 Soit l E E. On dit qu'une suite (un)nEN converge
vers l si
Vê > 0, 3no E N/Vn 2: no, d( Un, l) < ê.
(2.1)
Cet élément de E est unique. On l'appelle limite de la suite (un)nEN· On note
lim Un= l.
n--t+oo
On dit que la suite ( Un)nEN est convergente.
Remarque 2.1 Dans l'assertion {2.1}, les deux dernières inégalités peuvent être
strictes ou larges.