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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
Il Définition : Une partie A de E est dite dense dans E si A= E.
Théorème-définition 1.15 Soit A une partie de E. L'union des ouverts
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contenus dans A est un ouvert appelé intérieur de A et noté A.
Preuve. Soit A une partie de E. On peut remarquer que l'ensemble des ouverts
de E contenus dans A est non vide car 0 en est un. L'intérieur de A est ainsi défini.
Une union quelconque d'ouverts est un ouvert, donc l'intérieur de A est un ouvert
deE.
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1.5.5 Métrique induite
Proposition-définition 1.16 Soit (E, d) un espace métrique et E' une partie
non vide de E. La restriction de l'application d à la partie E' x E' permet de
définir une distance sur E' appelée distance induite.
Proposition 1.17 On considère un espace métrique (E, d) et E' une partie
non vide de E et l'espace métrique E' muni de la distance induite.
1. Les ouverts de E' sont les ensembles de la forme () n E', () étant un ouvert
de E.
2. Les fermés de E' sont les ensembles de la forme F n E', F étant un fermé
de E.