1.5. TOPOLOGIE D'UN ESPACE MÉTRIQUE
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Preuve. Soit A une partie de E. Notons (Fi)iEI l'ensemble des fermés de E
contenant A. Remarquons qu'il existe de tels fermés car E en est un. L'adhérence
de A est définie par,
A= niErFi.
Une intersection quelconque de fermés est un fermé,l'adhérence de A est donc un
fermé de E.
1. On a,
donc
Ac niErFi =A.
2. (a) Si A= A, alors A est fermé car A l'est.
(b) A est inclus dans tout fermé contenant A. Donc, si A est fermé, on a
A c A. Puisque A C A, on obtient A = A.
Voici une caractérisation des points appartenant à l'adhérence d'une partie A de
E. Il existe également une caractérisation séquentielle (section 2.3.2, page 22).
Proposition 1.14 Soit A une partie de E. Un élément x de E appartient à
A si et seulement si d(x, A) = 0 i. e.
Ve> 0,3a E A, d(a,x) < e.
Preuve. Montrons la contraposée :
x E (A)c {::} d(x, A) > O.
1. Supposons que x appartienne à l'ouvert (Jï)c. Il existe un réel strictement
positif r vérifiant
B(x,r) C (A)c.
A étant inclus dans A, on en déduit qu'aucun élément de A n'appartient à
B(x, r). Donc
Va E A, d(x,a) :2: r et d(x,A) :2: r >O.
2. Soit x un élément de E vérifiant d(x, A) > O. Par simplification, notons
d(x, A)= a.
Ona,
VaEA, d(a,x)2:a.
Aucun élément de A n'appartient à B(x, a), A est donc inclus dans le fermé
(B(x, o:W. A étant le plus petit fermé contenant A, on a
AC (B(x,a))c.
On en déduit que x n'appartient pas à A.