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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
Proposition 1.12
1. Les parties 0 et E sont des fermés de E.
2. L'intersection d'une famille non vide de fermés de E est un fermé de E.
3. La réunion d'une famille finie non vide de fermés de E est un fermé de
E.
Preuve.
1. 0c = E et Ec = 0.
2. On considère (Fi)ieJ, un ensemble de fermés de E indicés par un ensemble
I non vide et leur intersection niEI Fi :
(nie1Fir = (uie1Fn.
Ce dernier ensemble est un ouvert de E en tant qu'union d'ouverts de E.
3. Soient n un entier strictement positif, F1, · · · , Fn, n fermés de E. On a,
(uf=1Fi)c = nf=1Ft
Cet ensemble est un ouvert de E en tant qu'intersection finie d'ouverts de
E.
Exemple : Une boule fermée est un fermé.
Preuve. On considère x un élément de E, r un réel strictement positif et B1(x, r)
la boule fermée de centre x et de rayon r. Montrons que son complémentaire dans
E est un ouvert. Soit y élément de B'j(x, r). Le réel (d(x, y) - r) est strictement
positif. Vérifions que la boule ouverte de centre y et de rayon (d(x, y) - r) est
incluse dans B'j(x,r). Soit z élément de B(y,d(x,y)-r). On a,
d(x, y)~ d(x, z) + d(z, y) < d(x, z) + d(x, y) - r,
d'où,
d(x, z) > r.
On vient de montrer que B(y, d(x, y) - r) est incluse dans B'j(x, r). Cette dernière
est un ouvert de E.
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Remarque 1.5 Une union infinie de fermés peut ne pas être un fermé. Par
exemple, dans~' UnEJ\I*] - oo, ~ 1 J =) - oo, O[ n'est pas fermé.
1.5.4 Adhérence, intérieur
Théorème-définition 1.13 Soit A une partie de E. L'intersection des fermés
contenant A est un fermé appelé adhérence de A, noté A. De plus,
1. AcA.
2. A = A si et seulement si A est un fermé de E.