1.5. TOPOLOGIE D'UN ESPACE MÉTRIQUE
Soit
r = min{r1, · · · , rn}·
Le réel r est strictement positif et
Vi E {1, · · · ,n}, B(x,r) C B(x,ri) C fh.
D'où
B(x,r) c ni=10i.
(ni= 1 Bi) est donc un ouvert de E.
Exemple : Une boule ouverte de E est un ouvert de E.
13
Preuve. On considère B(x, r) la boule ouverte de Ede centre x et de rayon r. Soit
y un élément de cette boule. Le réel (r-d(x,y)) est strictement positif. Montrons
que la boule de centre y et de rayon (r - d(x, y)) est incluse dans la boule B(x, r).
Soit z un élément de B(y, r - d(x, y)). On a,
d(x, z) :::; d(x, y)+ d(y, z) < d(x, y)+ r - d(x, y)= r.
Ceci prouve que B(y, r - d(x, y)) est incluse dans B(x, r) et que cette dernière est
un ouvert de E.
'9
Remarque 1.4 Une intersection infinie d'ouverts peut ne pas être un ouvert. Par
exemple, dans~' nnEN• )-;, 1 , ~[= {O} n'est pas ouvert de~Voisinage
Il
Définition : Soit x un élément de E. On dit qu'une partie V de E est
~~ voisinage de x s'il existe une boule ouverte de centre x contenue dans
Exemple : L'intervalle [O, 1] est un voisinage de ~1.5.3 Fermés
Si A est une partie de E, on notera Ac son complémentaire dans E.
Il
Définition : On dit qu'une partie F de E est un fermé de E si Fe, son
complémentaire dans E, est un ouvert de E.
À noter qu'il existe une caractérisation séquentielle des fermés. (Voir section
2.3.3, page 23).