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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
1.5 Topologie d'un espace métrique
On se replace, jusqu'à la fin du chapitre, dans le cadre général des espaces
métriques. On considère (E, d) l'un d'eux.
1.5.1 Boule, sphère
Définition : Pour tout x élément de E et pour tout réel r strictement
positif, on appelle,
1. boule ouverte de centre x et de rayon r, l'ensemble B(x, r) ={y E
E/d(x,y) < r},
2. boule fermée de centre x et de rayon r, l'ensemble BJ(x,r) ={y E
E/d(x,y) ~ r},
3. sphère de centre x et de rayon r, l'ensemble S(x, r) = {y E
E/d(x,y) = r}.
1.5.2 Ouverts
Il
Définition : On dit qu'une partie n de E est un ouvert de E si, pour
~ut élément x de n, il existe une boule ouverte de centre x incluse dans
Proposition 1.11
1. Les parties 0 et E sont des ouverts de E.
2. La réunion d'une famille non vide d'ouverts de E est un ouvert de E.
3. L'intersection d'une famille finie non vide d'ouverts de E est un ouvert
de E.
Preuve.
1. Pour l'ensemble vide, aucune vérification n'est à faire. Toute boule ouverte
de E est incluse dans E, donc E est un ouvert de lui-même.
2. On considère (Bi)iEJ, un ensemble d'ouverts de E indicés par un ensemble I
non vide. Soit x un élément de (UiEJBi)· Il existe io élément de I tel que x
appartienne à l'ouvert Bio et un réel strictement positif r, vérifiant
B(x,r) C Bio·
Donc
(UiEJBi) est un ouvert de E.
3. Soient n un entier strictement positif, Bi,··· , Bn, n ouverts de E et x un
élément appartenant à leur intersection (nf= 1 Bi)· Alors,
Vi E {1, .. · , n }, 3ri > Of B(x, ri) c Bi·