1.4. PRODUIT SCALAIRE, NORME EUCLIDIENNE, NORME HERMITIENNE
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Preuve.
1.
J< X,X > = 0 {::}< X,X >= 0 {::}X= 0.
2.
' , E IK, \:lx E E, J< Àx,Àx > = Jl-Xl 2 =1-XIJ< x,x >.
3. (a) cas lK = ~.
(b) cas lK = C,
D'où,
\:/(x,y) E E 2 , llx + Yll 2 =< x + y,x +y>
= llxll 2 + 2 < x, Y > +llYll 2
:::; llxll 2 + 2llxll-llYll + llYll 2 :::; (llxll + llYll) 2 .
\:/(x,y) E E 2 , llx+yll 2 =< x+y,x+y >
= llxll 2 + 2~( < x, Y >) + llYll 2
:::; llxll 2 + 211 + llYll 2
:::; llxll 2 + 2llxll.llYll + llYll 2 :::; (llxll + llYll) 2 .
llx + Yll:::; llxll + llYll·
Exemple : La norme euclidienne associée au produit scalaire indiqué dans le
premier exemple page 8, est la norme 11-112 indiquée en exemple page 6.
Proposition 1.10 Soit E un espace vectoriel préhilbertien. On a,
\:/(x, y) E E 2 , llx + Yll 2 + llx - Yll 2 = 2 (llxll 2 + llYll 2 ) ·
Cette égalité est appelée identité du parallélogramme.
Exercice 1.4 Montrer que, dans les exemples de la page 6, les normes 11-111 et 11- 1100
ne sont pas euclidiennes.
Solution. Pour les vecteurs x = (1, 0, 0, · · · , 0) et y = (0, 1, 0, · · · , 0), par exemple,
l'identité du parallélogramme n'est pas vérifiée.
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