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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
En utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire réel :
'..) =< Àx +y, Àx +y>= À 2 llxll 2 + 2).. < x, Y> +llYll 2 .
La fonction f est une fonction polynôme du second degré à valeurs positives.
Son discriminant simplifié est négatif. C'est-à-dire,
D'où le résultat. Nous remarquons que nous avons égalité si et seulement
si le discriminant est nul, c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel >. .0
vérifiant f(>..0 ) = 0, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs x et y sont
liés.
2. ][{ = lR ou c.
Le vecteur y peut-il se décomposer en somme d'un vecteur colinéaire à x et
d'un vecteur orthogonal à x? Résolvons pour cela, dans (OC, E), le système
d'inconnue (>.., z)
{
y= Àx + z,
< x,z >=o.
{
\
{ ~
y = AX + z,
Z = y - llxll~ X,
{::::::::}
{::::::::}

< x,y-Àx >=O.
À= Tx{(?·
On obtient une unique solution. La décomposition est donc unique. Notons
cette décomposition. Celle-ci étant unique, les vecteurs x et y sont liés si et
seulement si le vecteur z est nul.
Ona
et
llxll 2 llYll 2 = 1 < x, Y > 1 2 + llxll 2 -llzll 2 ~ 1 < x, Y > 1 2 •
On obtient l'inégalité désirée. On remarque que l'on a une égalité si et seulement si z est nul, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs x et y sont liés.
Proposition 1. 9 Soit E un espace vectoriel préhilbertien. L'application
définie sur E à valeurs dans lR par :
X~ J< X,X >,
est une norme appelée norme euclidienne si ][{ = lR et hermitienne si ][{ = C.