1.4. PRODUIT SCALAIRE, NORME EUCLIDIENNE, NORME HERMITIENNE
9
d'éléments de C((O, l], C), associe
1
1 f(x)g(x)dx,
est un produit scalaire.
Preuve.
1. La preuve est évidente.
2. Les trois premières propriétés du produit scalaire sont évidentes à vérifier.
Prouvons la quatrième :
Soit P est un polynôme vérifiant
< P, P >= 1
1 P 2 (x)dx =O.
L'application P 2 étant continue et positive sur le segment [O, l], nous avons
Vx E [O, l], P 2 (x) =O.
Le polynôme P admettant une infinité de racines est le polynôme nul.
3. Cette dernière preuve simple est laissée au lecteur.
1.4.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Notation : Soit E un espace vectoriel préhilbertien. Notons (par abus pour
l'instant) pour tout élément x de E,
llxll = J< x,x >.
Nous montrerons que cette application li.li est une norme sur E. Pour cela, nous
avons besoin de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
Proposition 1.8 Inégalité de Cauchy-Schwarz. Soit E un espace vectoriel
préhilbertien. On a
V(x,y) E E 2 , 11 S llxll·llYll
Il y a égalité si et seulement si les vecteurs x et y sont liés.
Preuve. Six est nul, le résultat est évident. Supposons désormais x non nul. Nous
proposons deux preuves. La première, classique, est restreinte au cas réel.
1. OC= IR.
Considérons l'application f définie sur IR par
f: IR - - t IR+
À i---+ ll..\x + Yil 2 ·