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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
Définition : Soit E un C-espace vectoriel. On appelle produit scalaire
sur E, toute application
< ., . > : E X E---+ c
étant,
1. à symétrie hermitienne i. e. V(x,y) E E 2 , < y,x >= < x,y >
2. linéaire à droite i. e.
V(x,y1,Y2) E E 3 ,V(> . . ,µ) E C 2 < x,Ày1 + µy2 >=À< x,y1 >
+µ < x,y2 >
3. positive i. e. Vx E E, < x, x >E JR+
4. définie i. e. Vx E E, < x, x >= 0 ===} x = O.
Il
Définition : Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé
espace préhilbertien.
Définition : On dit que deux éléments de E, x et y, sont orthogonaux
si
< x,y >=O.
Remarque 1.3 Les propriétés du produit scalaire {réel ou complexe) permettent
d'écrire :
Vx E E, < O,x >=< x,O >=O.
En particulier, < 0, 0 >=O.
1.4.2 Exemples
1. L'application qui, à tout couple (x, y) d'éléments de !Rn (en notant x
(xi, x2; · · · Xn) et y= (yi, y2; · · · Yn), associe le réel
est un produit scalaire sur !Rn.
n
LXiYi
i=l
2. Soit IR[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients sur IR. L'application
qui, à tout couple (P, Q) d'éléments de IR[X] associe
fo
1 P(x)Q(x)dx,
est un produit scalaire sur IR[X].
3. Soit C([O, 1], q le C-espace vectoriel des fonctions définies et continues sur
le segment [O, 1] à valeurs complexes. L'application qui, à tout couple (!, g)