1.4. PRODUIT SCALAIRE, NORME EUCLIDIENNE, NORME HERMITIENNE
7
Preuve.
1. Supposons qu'il existe un réel M positif vérifiant
Vx E A, llxll :::; M.
Alors,
V(x, y) E A 2 , d(x, y) = llx - Yll :::; llxll + llYll :::; 2M.
A est donc une partie bornée de E.
2. Réciproquement, supposons A bornée. Choisissons a un élément de A. Alors,
Vx E A, llxll :::; llx - ail+ llall :::; ô(A) + llall·
Nous pouvons choisir le réel M = ô(A) + llall.
1.4 Produit scalaire, norme euclidienne,
norme hermitienne
Dans cette section, nous définissons le produit scalaire sur un OC-espace vectoriel. Le produit scalaire permet de définir une norme induite. Un espace vectoriel
muni d'un produit scalaire est plus «sophistiqué» qu'un espace vectoriel normé. Il
dispose en particulier d'outils tels que l'orthogonalité, dont il est inutile de vanter
l'utilité.
Attention, nous devons ici distinguer les cas lK = IR et lK = C.
1.4.1 Définitions
Définition : Soit E un IR-espace vectoriel. On appelle produit scalaire
sur E, toute application
< ., . > : E X E ---+ IR
étant,
1. symétrique i. e. V(x, y) E E 2 , < y, x >=< x, y>
2. linéaire à droite i. e.
V(x,y1,Y2) E E 3 ,V(>.,µ) E IR 2 < x,Ày1 +µy2 >=À< x,y1 >
+µ < x,y2 >
3. positive i. e. Vx E E, < x, x >E IR+
4. définie i.e. Vx E E, < x,x >= 0 ===> x =O.
Remarque 1.2 Les propriétés 1 et 2 permettent de dire que le produit scalaire
réel est linéaire à gauche, donc bilinéaire.