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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
Définition : Soit (E, +, .) un OC-espace vectoriel. On appelle norme sur
E toute application
11-11 : E - t JR+
vérifiant :
1. '<:lx E E, llxll = 0 {:::}X = 0.
2. V>. E IK, '<:lx E E, 11>-xll = l>-1-llxll·
3. V(x, y) E E 2 , llx + Yll ::; llxll + llYll ·
Muni d'une norme, E est appelé espace vectoriel normé. (en abrégé
e.v.n.).
Exemples:
1. Dans !Rn, en notant x = (xi,x2,·· ·xn) un élément de !Rn, on a les normes
suivantes:
n
llxlli = L lxil,
i=l
On peut remarquer que pour n = 1, ces trois normes sont égales. C'est cette
norme qui sera utilisée sur R
2. On considère B(IR, IR) l'espace vectoriel des fonctions définies sur IR, bornées
et à valeurs réelles. L'application 11-lloo définie par:
'if E B(IR, IR), ll!lloo = sup lf(x)I,
xEIR
est une norme sur B(IR, IR)
Pour 1, on laissera au lecteur le soin de vérifier que, sur !Rn, les applications 11-111 et
11-1100 sont des normes. L'application 11-112 est la norme euclidienne issue du produit
scalaire indiqué dans l'exemple 1 de la section 1.4.2. page 8. Le dernier exemple
est traité, dans un cadre un peu plus général, dans l'exercice 2.1. page 21.
Proposition 1.6 Soit E est un espace vectoriel normé de norme 11-11 · L 'application
EX E-t JR+
(x, y) 1--t llx - yll,
est une distance sur E.
La preuve de cette proposition découle des propriétés d'une norme.
Proposition 1.7 Soit (E, 11-11) un espace vectoriel normé. Une partie non vide
A de E est bornée si et seulement si il existe un réel positif M vérifiant
'<:lx E A, llxll ::; M.