1.3. NORME
1.2.1 Diamètre d'une partie, distance entre deux parties
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. Si A est une partie de E
non vide, on appelle diamètre de A l'élément de [O, +oo] défini par
ô(A) = sup d(x, y).
(x,y)EA2
On dit que A est bornée si ô(A) < +oo.
Définition: Soient A et B deux parties non vides d'un espace métrique.
On appelle distance entre A et B le réel
d(A, B) = inf d(x, y).
xEA
yEB
Lorsque x est un élément de E, on appelle distance de x à A, le réel
d(x,A) = d({x},A) = inf d(x,y).
yEA
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Remarque 1.1 Attention, on peut avoir An B = 0 et d(A, B) =O. Il suffit pour
cela de considérer, par exemple, dans IR, le singleton {O} et JR+*.
1.2.2 Espace métrique produit
Proposition 1.5 On considère n espaces métriques (Ei, d1), · · · , (En, dn)·
L'application
est une distance sur E1 x E2 x · · · x En appelée métrique produit.
1.3 Norme
Les espaces métriques sur lesquels on travaille en général en analyse sont soit
des OC-espaces vectoriels tels que IR, IR 2 , IR 3 , !Rn (n E N*), espaces fonctionnels ... , soit des parties de ces ensembles : intervalle réel, cercle,
sphère ... La structure d'espace vectoriel nous permet de définir une norme. Nous
pouvons ensuite construire, à partir de cette norme, une distance induite.