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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
Solution. L'ensemble A est une partie de lR. non vide car elle contient O. Elle est
majorée par 1. Elle admet donc une borne supérieure que l'on note sup A. Ce réel
appartient au segment (O; 1]. En effet, le réel 0 étant élément de A et 1 étant un
majorant de A, on a
0 S sup A S 1.
L'application f étant croissante
Va E A, a S f(a) S /(supA).
Ainsi, le réel f (sup A) est un majorant de A. On en déduit que
f (sup A) ~ sup A.
L'application f étant croissante, on obtient
f [f(supA)] ~ /(supA].
Cette dernière inégalité signifie que f(supA) est élément de A:
f(supA) S supA.
Le réel sup A est ainsi un point fixe.
1.2 Distance
Pour définir une distance, il suffit de considérer un ensemble. On peut remarquer qu'aucune loi ou structure sur l'ensemble n'est exigée.
Définition : Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E
toute application
vérifiant :
1. V(x,y)EE 2 ,
2. V(x,y)EE 2 ,
3. V(x, y, z) E E3,
d : E X E --+ JR.+
d(x,y) = Ü {:}X= y.
d(x,y) = d(y,x).
d(x, z) S d(x, y)+ d(y, z).
Le couple (E, d) est appelé espace métrique.
Exemples:
1. Sur IR., l'application (x, y) t-t lx - YI est une distance.
2. Pour tout ensemble E, la distance d définie par
d(x, y) = 0 si x =y,
d(x, y) = 1 si x =f. y,
est appelée distance discrète sur E. L'espace métrique (E, d) est appelé espace métrique discret.