1.1. RAPPELS
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Ainsi, 0 est la borne inférieure de IR+*.
On peut donc noter que inf A n'appartient pas toujours à A. Il en est de même
pour une borne supérieure.
Définition :
1. Si la borne supérieure d'une partie A non vide et majorée appartient à A, cette borne supérieure est également appelée maximum
de A et notée max A.
2. Si la borne inférieure d'une partie A non vide et minorée appartient
à A, cette borne inférieure est également appelée minimum de A
et notée min A.
Exercice 1.2 Soient A et B deux parties de IR, non vides et majorées. On note
A + B = { z E IR; 3x E A 3y E B, z = x + y} .
Montrer que A+ B est une partie majorée et non vide de IR et que sup(A + B) =
supA + supB.
Solution. Il est évident que A + B est non vide. Le réel sup A + sup B est un
majorant de A+ B. En effet, considérons z un élément de A+ B. Il existe x
élément de A et y élément de B tels que z = x +y. On a
z = x + y :::; sup A + sup B.
Vérifions que sup A + sup B est le plus petit majorant de A + B. Soit é un réel
strictement positif. Il existe un élément a de A et un élément b de B vérifiant
a>supA-e,
et
b > supB-e.
Le réel (a+b) est un élément de A+ B vérifiant
a + b > sup A + sup B - 2e.
sup A + sup B est ainsi la borne supérieure de A + B.
Exercice 1.3 Soit f: [O, 1] ---+ [O, 1]. une application croissante.
Montrer qu'il existe un réel x 0 appartenant à [O, 1] vérifiant f(x 0 ) = x 0 . Dans ce cas,
on dit que x0 est un point fixe de l'application f. On pourra introduire l'ensemble
A= {x E [O, 1]/f(x) 2' . x}.