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TOPOLOGIE SUR LES ESPACES MÉTRIQUES
Cette proposition donne une caractérisation de la borne supérieure. La première
assertion indique que sup A est un majorant de A et la seconde indique que sup A
en est le plus petit. On notera qu'il existe une caractérisation à l'aide de suites.
On pourra lire à ce sujet la proposition 2.6, page 20.
Notation : Si A est une partie non majorée de JR, on pose
supA = +oo.
Définition : On dit qu'une partie A de lR est minorée s'il existe un réel
m vérifiant :
Va E A, a 2: m.
Le réel m est appelé minorant de la partie A.
Théorème admis 1.3 Toute partie A de JR, non vide et minorée, admet un
plus grand minorant appelé borne inférieure de A et noté inf A.
Proposition 1.4 La borne inférieure d'une partie A, non vide et minorée de
JR, est caractérisée par :
{
Va E A,
Vê > 0,
a 2: inf A,
3a E A/ a < inf A+ ê.
Notation : Si A est une partie non minorée de JR, on pose
inf A= -oo.
Il
Définition : On dit qu'une partie de lR est bornée si elle est minorée et
majorée.
Exercice 1.1 Montrer que
JR+* = {x E JR/x > O}.
est une partie de lR minorée de borne inférieure O.
Solution. JR+* est une partie minorée par O. Soit ê un réel strictement positif. Le
réel ~ est strictement positif. On a