Chapitre 1
Topologie sur les espaces métriques
Introduction
Ce premier chapitre, ainsi que les chapitres 2 à 6, regroupe l'ensemble des
définitions et propriétés relatives aux espaces métriques utilisées dans ce livre. Les
constructions des corps lR (munis de la relation d'ordre usuelle) et on admet ainsi le théorème 1.1 et le théorème 4.2, page 42. L'importance des bornes
supérieures et inférieures m'a incité à les rappeler.
Dans ce chapitre, OC. représente soit JR, le corps des nombres réels, soit corps des nombres complexes.
1.1 Rappels
Définition : On dit qu'une partie A de lR est majorée s'il existe un réel
M vérifiant :
Va E A, a ::; M.
Le réel M est appelé majorant de la partie A.
Théorème admis 1.1 Toute partie A de JR, non vide et majorée, admet un
plus petit majorant appelé borne supérieure de A et noté sup A
Proposition 1.2 La borne supérieure d'une partie A, non vide et majorée de
JR, est caractérisée par :
{
VaE A,
Ve> 0,
a::; supA,
:la E A/ a> supA - c.