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(b)
ESPACES PRÉHILBERTIENS
Quelque soit la parité de m, nous obtenons
n
LPm(ak) =~(Sm)= O.
k=l
On en déduit que
n
LTm(Œk) = 0.
k=l
Vm E {1, 2,. .. , (n-1)}, I(Tm) = 11 Tm(t) dt= 11 To(t)Tm(t) dt
-1 Vî-=-t2
-1
Vr=t2
n
== 0 = L ~Tm(Œk)·
k=l n
Pour m = 0, nous avons également
1
1
To(t)
n 7r
I(To) =
VI-=-t2dt = 7r = L:-To(ak)·
-1 1 - t2
k=l n
En conclusion,
\lm E {O, 1,. · · , (n - 1)},
La famille (T m)o~m~(n-1) formant une base de !Rn-1 [X], nous obtenons,
VQ E 1Rn-1[XJ,
n
I(Q) = L ~Q(ak)·
n
k=l
La famille (>.k)i~k~n étant unique, nous obtenons le résultat désiré.
7. Soit Q un élément de IR2n-i!XJ. Effectuons la division euclidienne du polynôme Q par le polynôme Tn :
Q = QlTn +R,
où R est un élément de 1Rn-1[X]. Le polynôme Q1 est aussi élément de
!Rn-1 [X] puisque le degré de Q est inférieur ou égal à ( 2n - 1).
Nous avons,
Le polynôme Tn étant orthogonal au sous-espace 1Rn-l [X] donc au polynôme
Ql, nous obtenons,
1
1 Q(t) dt= 11 Ql(t)Tn(t) dt+ 11 R(t) dt
-1 yl - t 2
-1 Vî-=-t2
-1 Vî-=-t2
1
1
R(t)
7r n
7r n
=< Ql,Tn > +
Vî-=-t2dt = - LR(ak) = - LQ(ak)·
-1 1 - t
n k=l
n k=l