20.10. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
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On considère pour tout entier naturel i compris entre 1 et n, l'élément de
~n-1[X] noté Qi définie par
n
'v'x E ~. Qi(x) =II (x - ai)·
j=l
;,,.;
Alors, pour tout entier i compris entre 1 et n, nous avons
n
k=l
Ainsi,
·n
j=l
;,,.;
'v'i E {1,2··· ,n}, ai= O.
La famille (wk)l espace vectoriel ae -dimension n.
L'application I définie sur ~n-1 [X] par
l: ~n-1[X]
Q
J l Q(t) dt
-1 v'î=t2'
est une forme linéaire sur ~n- 1 [X]. Elle s'écrit de manière unique comme
combinaison linéaire de la base (wk)l de réels (.Xkh:5k:5n vérifiant
- -
D'où, le résultat.
6. (a) Soit m un entier compris entre 1 et (n - 1).
n
n
(
((2k -1)7r))
~ Pm(ak) =~Pm cos
2 n
= t cos (;:i (2k - 1) 7r) = lR (t e1':: (2k-1) ... )
k=l
k=l
Notons
n
Sm = Le 1' :: {2k-l).,...
k=l
S
im,..l-ém7r
im.!tl-(-l)m
m = e 2n
.
= e 2n
.
1-e'~"
1-e'~"
Sim est pair, alors Sm= O. Sim est impair,
2e;~,..
2
Sm = l .i.m1r. = _ im" im.E
- e n
e 2n - e 2n
i
- sin ( ';',:' )"