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ESPACES PRÉHILBERTIENS
En effectuant le changement de variable t = cos(), nous obtenons
1('
= 2" Jo (cos(n + p)() + cos(n - p)()) d() =O.
On en déduit que la famille de polynômes (Tn)neN est une famille orthogonale
et que pour tout entier naturel n le polynôme Tn est un polynôme de degré n
normalisé. La suite (Tn)neN est ainsi la suite des polynômes de Tchebychev.
3. D'après la proposition 20.24, le polynôme Tn admet n racines simples appartenant à l'intervalle] -1, 1[. Les deux polynômes Tn et Pn admettent les
mêmes racines.
4.
7r
Pn(cos()) = 0 {::} cosn() = 0 {::} n() = - 2 + k7r (k E Z)
7r k'Tr
{::} () = - - + - (k E Z).
2n
n
Nous remarquons que pour entier k compris entre 1 et n, le réel ( - 2 : + ~)
appartient à l'intervalle ]O, 7r[. L'application cosinus étant strictement décroissante sur cet intervalle, nous obtenons les n racines simples du polynôme
Tn que l'on notera a1, a2, ···an avec
Vk E {1,2, ... ,n}, ak =cos ( 2 k 2 : 1 7r).
llT. 112=_1_11 P~(t) dt.
n
22n-2 -1 v'f=t2
En effectuant le changement de variable t = cos(), nous obtenons
2
1
r 2
1
r
7r
llTnll = 22n-2 Jo cos (n())d() = 22n-1 Jo (1 + cos(2n())) d() = 22n-l.
5. Pour tout entier k compris entre 1 et n, notons W k la forme linéaire définie
sur 1Rn-1 [X] par
Montrons que (wk)l de dimension n, il suffit de montrer que la famille (wk)1 Considérons (akh:5k:5n un n-uplet de réels vérifiant
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