20.10. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
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Solution.
1. (a) Existence. On note (Pn)nEN la suite de IR[X] définie par
{
\:/x E IR, P0 (x) = 1,
\:/x E IR, P1(x) = x,
\:/n ~ 1, \:/x E IR, Pn+1(x) = 2xPn(x) - Pn-1(x).
Considérons pour tout entier naturel n, la propriété Pn :
Pn: '\:/() E IR, Pn(cosO) = cosnO. y
Nous avons les propriétés Po et P 1 • Soit n un entier strictement positif.
Montrons que
A l'aide de formules trigonométriques, nous obtenons
\:/() E IR, cos(n + 1)0 + cos(n - 1)0 = 2cos0cosn0.
D'où,
\:/() E IR, cos(n + 1)0 = 2 cos 0 cos nO - cos(n - 1)0
= 2cos0Pn(cos0) - Pn-1(cosO) = Pn+1(cosO).
Ainsi,
Nous avons donc la propriété Pn pour tout entier naturel n.
(b) Unicité. Considérons (Pn)nEN et ( Qn)nEN deux suites de polynômes
vérifiant les hypothèses indiquées dans cette première question. Alors
pour tout entier naturel n, nous avons
\:/() E IR, Pn(cosO) = Qn(cosO) = cosnO.
Ainsi,
\:/x E [-1, 1], (Pn - Qn)(x) =O.
Le polynôme (Pn - Qn) admettant une infinité de racines est le polynôme nul.
( c) Le degré du polynôme Po est 0, son coefficient dominant est 1. On vérifie
très simplement que, pour tout entier naturel strictement positif n, le
degré du polynome Pn est égal à n et que le coefficient de plus haut
degré est égal à 2n- 1 .
2. Considérons n et p deux entiers naturels distincts.
n
n
- jl Pn(t)Pp(t)d
< .rn, .rp >~
t.
-1 V 1- t-