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ESPACES PRÉHILBERTIENS
4. Calculer, pour tout entier n strictement positif, 11Tnll 2 •
5. Montrer qu'il existe un unique n-uplet de réels (>.k)i:=:;k:=:;n vérifiant
VQ E IR.n-1[XJ,
On pourra utiliser la théorie de la dualité.
6. (a) Montrer que pour tout entier m compris entre 1 et (n - 1),
(b) En déduire que
n
LTm(ak) = 0.
k=l
7r
Vk E {1, .. .,n} Àk = -.
n
7. En utilisant la division euclidienne par le polynôme Tn, montrer que
1
1 Q(t)dt = ~ t Q(ak)·
-1 v'f-=t2 n k=l
Dans la suite, on considère une fonction f de classe c 2 n sur [-1, 1] à vaieurs
réelles.
8. Montrer qu'il existe un unique polynôme P E IR.2n-l [X] vérifiant
9. Dans cette question, Xo est un élément fixé de [-1, 1] non racine de Tn. On
considère la fonction g définie sur [-1, 1] par
Vx E [-1, 1], g(x) = f(x) - P(x) - >.,, 0 T~(x),
où >.,, 0 est choisi tel que g(xo) =O. Montrer que g< 2 n> s'annule au moins 1 fois
sur l'intervalle [-1, 1] et qu'il existe un réel Ç vérifiant
10. Montrer que
Vx E [-1, 1], lf(x) - P(x)I < jjJ(2n)llooT2(x)
-
(2n)!
n
·
11. En déduire la majoration
11
1 f(t)dt - ~ .ç... f (cos 2k - 1rr)1 :S 7r llf(2n) lloo·
-1 /f-=t2 n ~
2n
(2n)!22n-l