20.10. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
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dans le second cas
< Pn, Qn >= 1Pn(x)Qn(x)w(x)dx<0,
et dans tous les cas < Pn, Qn >-f O. Le polynôme Pn étant orthogonal à tous les
éléments de IRn-dX], on en déduit que le polynôme Qn est un polynôme de degré
n. On a ainsi prouvé que Pn admet n racines distinctes sur I.
ift
20.10.1 Polynômes de Tchebychev
On se place dans le cas où I =] - 1, 1[ et w le poids défini par
w : ] - 1, 1[ - - t IR
t
1
v'l-t2
On sait que cette fonction est intégrable sur l'intervalle] - 1, 1[ et que
On a également
1
1
~d=t~ -7r
-1 vr=t2 - .
1
tn
1
1
Vn EN, Vt E] -1, 1(,
Jf=t2 ~ Jf=t2'
Donc pour tout entier naturel n, y1{~t 2 est intégrable sur ] - 1, 1(. Le produit
scalaire défini dans la proposition 20.22 s'écrit
(P, Q) ~< P, Q >= 11 P~dt.
-1
1 - t 2
Les polynômes orthogonaux correspondants s'appellent polynômes de Tchebychev
que l'on notera Tn (n EN).
Exercice 20.3
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un unique
polynôme Pn dont on donnera le degré et le coefficient dominant vérifiant
VfJ E IR, Pn (cos 0) = cos nO.
On pourra trouver une relation de récurrence d'ordre 2 en transformant l'expression
cos(n + 1)0 + cos(n - 1)0.
2. Montrer que
{
To =Po,
Vn 2:: 1, Tn = 2 n 1 -1 Pn.
Pour la suite de /'exercice, on considère un entier n strictement positif.
3. Expliciter les racines (akh:'.Sk~n de Tn.