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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Proposition 20.23 On considère I un intervalle et w un poids sur I. La suite
de polynômes orthogonaux (Pn)nEN asociée au poids w est l'unique suite de
JR[X] vérifiant
1. Pour tout entier naturel n, le polynôme Pn est un polynôme de degré n
dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1.
2.
Preuve. Nous savons que la suite de polynômes orthogonaux vérifie les propriétés
1 et 2. D'autre part, si une suite de polynômes (Qn)nEl':I vérifie les propriétés.1 et
2, alors pour tout entier naturel strictement positif n, le polynôme Qn appartient
à
où Hn est l'hyperplan de !Rn[XJ passant par le polynôme X r-+ xn et dirigé par
1Rn-dXJ et Dn est la droite passant par le polynôme nul et dirigée par l'orthogonal
de 1Rn-1[X] dans !RnX]. Les deux sous-espaces Hn et Dn sont dirigés par deux
sous-espaces vectoriels supplémentaires dans !Rn[X]. Leur intersection est donc
réduite à un singleton. Ainsi, Pn = Qn.
Proposition 20.24 Si (Pn)nneN est la suite de polynômes orthogonaux associée à un poids w définie sur un intervalle I, alors pour tout entier naturel
n, le polynôme Pn admet n racines simples réelles situées dans l'intervalle I.
Preuve. On considère un intervalle J, w un poids sur I, n un entier naturel
strictement positif et Pn le polynôme orthogonal correspondant. On note A =
{xi, x2, · · · xk}, l'ensemble de ses racines de multiplicité impaires appartenant à
l'intervalle /. On définit le polynôme Qn par
k
' i=l
On posera Qn = 1 si l'ensemble A est vide. Sur l'intervalle J, le polynôme PnQn
n'admettant que des racines de multiplicité paire, nous avons soit
soit
' Le polynôme PnQn étant non identiquement nul, on obtient dans le premier cas,
< Pn, Qn >= 1 Pn(x)Qn(x)w(x)dx > 0,