20.10. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
(n!)4
(2n!).(2n + 1)! ·
On en déduit alors que :
d(xn,!Rn_i[X]) = ( /~·
2n ! 2n + 1
20.10 Polynômes orthogonaux
Pour les notions de fonctions intégrables, on pourra lire le chapitre 23.
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Proposition-définition 20.22 Soient I un intervalle de longueur non nulle
et w une application continue sur I à valeurs réelles strictement positives telle
que pour tout entier naturel n, la fonction tnw(t) soit intégrable sur I. Alors
l'application définie sur IR[X] x IR[X] par
(P, Q) -t< P, Q >= 1 P(t)Q(t)w(t)dt.
est un produit scalaire sur IR[X]. L'application w est appelée poids sur I.
Preuve.
1. Pour toutes fonctions polynômiales P et Q, l'application PQw est combinaison linéaire d'applications intégrables sur l'intervalle I. Elle est donc
intégrable sur I. L'application (P, Q) -t< P, Q >= f 1 P(t)Q(t)w(t)dt est
ainsi définie sur IR[X] x IR[X].
2. Cette application est trivialement bilinéaire symétrique et positive. Montrons
qu'elle est définie. Soit P une fonction polynomiale vérifiant
1 P 2 (t)w(t)dt =O.
L'application t 1--+ P 2 (t)w(t) est positive et continue sur l'intervalle I. Elle
est donc nulle sur cet intervalle. On en déduit que
Vt E I, P(t) =O.
Le polynôme P admettant une infinité de racines est ainsi le polynôme nul.
L'application (P, Q) 1--+< P, Q > est un produit scalaire
Il
Définition : On appelle polynômes orthogonaux associés au poids w sur
I, les éléments de la suite (Pn)nEJ\I obtenue à partir de la base canonique
par le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt.