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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Exercice 20.2 On considère E = C([O, 1), IR) muni du produit scalaire :
(f,g) t-t fo
1 f (x)g(x)dx.
Soit n un entier naturel strictement positif. Calculer
On pourra utiliser le déterminant de Cauchy : Soient n un entier strictement positif,
deux n-uplets de nombres réels notés (ai,··· , an) et (bi, · · · , bn) vérifiant ai+ bi f:. o
pour tout couple d'entiers (i,j) compris entre 1 et n. Alors,
1
a1+b1
1
a2+b1
1
a1+b2
1
a2+b2
1
a1+bn
1
a2+bn
n:i=2 n{,:t(ai - aj)(bi - bj)
=
I17=1 I1~=1 (ai + bj)
1
1
1
an+bn
an+b1
an+b2
Solution. Nous avons, G(l, x, · · · , xn-l) = (gi,j )i:s,i:S,n avec
l:S;j$n
V(i,j) E {1, .. · ,n} 2 ,
. 1
. 1
1 1 ·+ . 2 1
g· · =< x•- x 1 - >=
t' J- dt = - - -
•,J
'
0
i + j - 1 .
En utilisant le déterminant de Cauchy en prenant par exemple pour tout entier i
compris entre 1 et n, ai = i et bi = i - 1, nous obtenons
1
1
l
2
n
1
1
1
nn nj-1 ( . ')2
g (l,x, · · · ,xn-l) =
2
3
n+l
j=2 i=l J - i
=
TI7=1 I1~=1 (i + i - 1)
l
1
1
n n+l
2n-1
(
n-1 )
3
- n;=2((j - 1)!) 2 -
JLio j!
- TI7!' (j~n-1)! - n-1
j=l (1-l)!
n (n + j)!
j=O
D'après la proposition précédente,
(1
n-1 n)
g
,x,· ·· ,x ,x
g (l, x, · · · , xn-l) ·
Ainsi,
( TI7!' j!)3
nn-1(
')1
nn-l(n + ")I
d 2 ( n 1lll
[X)) _
J=O
j=O n + J · _ ( !)3
j=O
J .
X '~n-1
-
3 X nn
- n. X
+1
)1
(n n-1 "')
j=o(n + j + 1)!
TI 1 7!' =1 (n + j ·
J=O J.