20.9. MATRICE DE GRAM, DÉTERMINANT DE GRAM
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Les déterminants de Gram nous permettent de donner une expression de la distance d'un élément x de E à un sous-espace vectoriel F de dimension finie.
Précisément, on a le résultat suivant.
Théorème 20.21 On considère E espace préhilbertien, n un entier strictement positif, F un sous-espace vectoriel de E de dimension n et (xi,··· , xn)
une base de F. Alors,
Vx E E, d(x,F) =
g(xi,···,Xn,x)
g(xi,··· ,xn) ·
Preuve. On considère F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie, une
base de F notée ( X1, · • · , Xn) et x un élément de E. On remarque que,
et
Vk E {1, ... 'n}, < Xk, X>=< Xk,p(x) > + < Xk, X - p(x) >=< Xk,p(x) >
< x, x >= llxll 2 = llp(x) 11 2 + llx - p(x) 11 2 =< p(x), p(x) > +d(x, F) 2 •
=
(xn 1 X1)
(p(x) 1 X1)
(xn 1 Xn)
(p(x) 1 Xn)
(xn 1 p(x))
< p(x),p(x) > +d (x, F) 2
Le vecteur p( x) étant élément de F, il existe un unique n-uplets de scalaires
(Ài, · · · , Àn) vérifiant p(x) = L~=l ÀiXi· Pour tout entier i compris entre 1 et
(n + 1), notons Ci, la ième colonne de cette matrice de Gram. Ainsi,
où
n
Cn+l = LÀiCi + C~+l
i=l
C~+1 =
0
0
d(x,F) 2
En utilisant les propriétés du déterminant, nous obtenons
g(xi, · · · , Xni x) = d(x, F) 2 g(xi, · · · , Xn)·
Les résultats de la proposition 20.20 permettent de conclure.