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ESPACES PRÉHILBERTIENS
{::} \:/k E {1,2, · · · ,n}, E>.i < Xk,Xi >= 0
iEl
{::} \:/k E {1, 2, · · · , n}, < Xk, L ÀïXi >= 0
iEl
{::} L ÀiXi = o.
iEl
Cette dernière équivalence vient du fait que, pour tout n-uplet (>.ih::;i::;n, le vecteur
EiEI ÀiXi appartient au sous-espace engendré par les vecteurs xi,·· · , Xk, · · · , Xn.
On en déduit que
Proposition 20.20 Soient E un espace préhilbertien, n un entier naturel
strictement positif et (xi)i::;i::;n un n-uplets de vecteurs de E. Alors,
g(xi,"' ,xn) ~O.
Le système est libre si et seulement si
Preuve. Considérons n un entier naturel strictement positif et (xih famille de E.
1. Si la famille (xih:5i:5n est liée alors, d'après la proposition précédente le rang
de la matrice de Gram est strictement inférieur à n et son déterminant est
nul. Ainsi,
2. Si la famille (xih à F x F admet pour matrice dans la base (x1 ,x2, · · · ,xn) la matrice G.
Considérons (ei, e2, · · · , en) une base orthonormée de F et Pla matrice de
passage de la base (ei,e2, ... ,en) vers la base (xi,x2,· .. ,xn)· Si l'espace
préhilbertien est réel,
G=tPIP=tpp
et
detG = det(tPP) = (detP) 2 >O.
Si l'espace préhilbertien est complexe,
G= tpfp= tpp
et
detG = det(tPP) = 1 detPl 2 >O.