20.9. MATRICE DE GRAM, DÉTERMINANT DE GRAM
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20.9 Matrice de Gram, déterminant de Gram
Remarque 20.5 Soient E un espace préhilbertien, F un sous espace de E de
dimension n et (eih::S:i::S:n une base non nécessairement orthonormée de F, nous
savons que la projection orthogonale sur F d'un vecteur x que l'on note p(x) est
l'unique élément de F vérifiant
Vi E {1, · · · n}, < x - p(x), ei >=O.
Les coordonnées (>.ih::S:i::S:n de p(x) dans la base (eih::S:i::S:n sont donc l'unique solution du système linéaire
n
Vi E {1, · · · n}, L < ei, ei > Àj =< x, ei > .
j=l
Ce système est appelé système d'équations normales.
Ceci nous amène à introduire les matrices de Gram.
Définition : Soit E un espace préhilbertien. On appelle matrice de
Gram d'une famille (xi)i::s;i::s;n de vecteurs de E, la matrice :
< X1,X1 > < X1,X2 >
< X2,X1 > < X2,X2 >
et le déterminant de cette matrice, noté g (x1, · · · , Xn) , est appelé
déterminant de Gram de la famille (xi)i::s;i::s;n.
Théorème 20.19 Soient E un espace préhilbertien, n est un entier naturel
strictement positif et (xi)i::s;i::s;n un n-uplets de vecteurs de E. Alors,
rg(G(xi,··· ,xn))=rg(x1,··· ,xn)·
Preuve. Soient n un entier strictement positif et (xih::S:i::S:n une famille de E. Pour
tout entier i compris entre 1 et n, définissons xi l'élément de ~n par
Soit I une partie finie non vide de {1, 2, · · · , n }. Alors, les équations en (>.ih::S:i::S:n
dans ~n
LÀiXi = 0 et LÀiXi = 0
iEI
iEI
sont équivalentes. En effet,