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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Proposition 20.17 Si une famille orthonormée (en)nEN d'un espace
préhilbertien est totale alors, pour tout élément x de E, la suite (Pn(x))nEN
est convergente vers x, c'est-à-dire
+oo
'Vx E E, x = lim Pn(x) =' ""' < x, ek > ek,
n-++oo
L.-t
k=O
où Pn est la projection orthogonale sur le sous-espace Vect{ eo, ei, · · · , en}
Preuve. Soit x un élément de E et é un réel strictement positif. La famille ( en)nEJ\I
étant totale, nous pouvons considérer un entier naturel no et (Ao, À1, · · · , Àn 0 ) un
(no+ 1)-uplets de scalaires vérifiant
Nous savons que Pn(x) est la meilleure approximation de x dans le sous-espace
engendré par (eo, ei, .. · , en)· Or, pour tout entier n supérieur à n 0 , le vecteur
o=~~o Àkek) appartient au sous-espace engendré par la famille ( eo, ei' ... 'en)·
Ainsi,
La suite (Pn(x))nEJ\I est ainsi convergente vers x. La dernière égalité est évidente
puisque pour tout entier naturel n, Pn(x) = L:~=O < x,ek > ek.
Proposition 20.18 (Égalité de Parseval} On considère (en)nEJ\I une famille
orthonormée et totale d'un espace préhilbertien E. Alors, pour tout élément x
de E, la série 2:: I< x, en >1 2 avec,
nEJ\I
+oo
LI< x, en >1
2
= llxll
2 •
n=O
Preuve. Nous savons que l'application définie sur E, qui à tout élément x associe
llxll 2 est continue sur E. Il suffit d'utliser le résultat de la proposition précédente
sachant que
n
'Vx E E, Vn EN, 11Pn(x)ll 2 = L < x, ek > 2 .
k=O