20.8. INÉGALITÉ DE BESSEL ET ÉGALITÉ DE PARSEVAL
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Théorème 20.15 (Bessel) Pour tout x E E, la série de terme général
I< x, en >1 2 est convergente et :
+oc
LI< x, en >1 2 :::; llxll 2 ·
(20.19)
n=O
Preuve. La série Ln>O I< x, en >1 2 est à termes réels positifs. D'après la proposition 20.14, page 360-la suite des sommes partielles est majorée par llxll 2 • D'où,
le résultat.
tft
En utilisant le fait que le terme général d'une série convergente tend vers 0, on
déduit le résultat suivant.
Corollaire 20.16 (Riemann-Lebesgue) Pour tout x E E on a :
lim < x,en >=O.
n-->+oo
Preuve. La série Ln>O I< x, en >1 2 étant convergente, la suite (I< x, en >l 2 )nEJ\I
est convergente vers o-:-D'où, le résultat.
4
Exemple : Dans le cas des séries de Fourier trigonométriques (exemple 20.7),
l'inégalité de Bessel s'écrit sous la forme :
où
117T
117T
an= -
f(t)cosntdt et bn = -
J(t)sinntdt
7r -7T
7r -7T
sont les coefficients de Fourier de la fonction f. Le théorème de Riemann-Lebesgue
nous dit que :
lim an (!) = lim bn (!) = O.
n-->+oo
n-->+oo
Dans la suite de cette section, on donne une caractérisation des familles orthonormées l3 qui assurent l'égalité dans le théorème (20.15) pour tout élément de
E.
Il
Définition : On dit qu'une famille est totale dans un espace
préhilbertien E si le sous-espace vectoriel de E engendré par cette famille
est dense dans E.