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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Proposition 20.14 Soient E un espace préhilbertien, F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, (ei, · · · , en) une base orthonormée et x un
élément de E. On note p la projection orthogonale sur F. Alors p(x) est l'unique
meilleure approximation de x dans F. Et,
n
d(x, F)2 = llx - p(x)ll2 = llxll2 - llp(x)ll2 = llxll2 - L < x, ek >2 .
k=l
Preuve. Soit x un élément de E. En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient,
Vy E F, llx -yi12 = llx - p(x)ll2 + llY- p(x)ll2·
On en déduit que
Vy E F, llx -yll ~ llx - p(x)ll
et l'on a égalité si seulement si y= p(x).
De plus,
llxll 2 = llx - p(x)ll 2 + llp(x)ll 2 ·
D'où,
llx - p(x)ll 2 = llxll 2 - llp(x)ll 2 -
Exemple : Sur l'espace vectoriel :F des fonctions continues sur lR et 27fpériodiques muni du produit scalaire :
1111"
(f,g) ~:;;: -11" f (x)g(x)dx,
la meilleure approximation, pour la norme déduite de ce produit scalaire, d'une
fonction f élément de :F dans le sous-espace vectoriel
En= Vect{l,cost,sint, · · · ,cosnt,sinnt}
est:
1 111"
27f -11" f (t) dt
+~ t ( (1-: f (t) cos (kt) dt) cos kx + (1-: f (t) sin (kt) dt) sin kx) .
20.8 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval
On considère E est un espace préhilbertien de dimension infinie et (en)nEN une
famille orthonormée de E.