20.7. MEILLEURE APPROXIMATION SUR UN SOUS ESPACE VECTORIEL
359
Proposition 20.13 Soient E un espace préhilbertien, Fun sous-espace vectoriel de E de dimension finie et p la projection orthogonale sur F. Si ( ei, · · · , en)
est une base orthonormée de F, alors
n
Vx E E, p(x) = L < x, ek > ek.
k=l
Evident d'après la relation (20.18).
20. 7 Meilleure approximation
sur un sous espace vectoriel
Attention! On se place dans cette première partie de section dans le cas d'un
espace vectoriel normé non nécessairement préhilbertien.
Définition : Soient E un espace vectoriel normé, F un sous-espace vectoriel de E et x un élément de E. Si Yo est un élément de F vérifiant
llx - Yoll = inf llx - Yll = d(x, F),
yEF
on dit que Yo est une meilleure approximation de x dans F.
Remarque 20.4 Dans un espace vectoriel normé, l'existence ou l'unicité d'une
meilleure approximation ne sont pas toujours assurées.
1. Non existence. Reprenons l'exemple de l'espace préhilbertien C ([O, l], ~) indiqué dans la remarque 20.3. ~[X] est un sous-espace dense. Donc, pour tout
élément f de C ([O, l] , ~), on a d(f, ~[X]) = O. Si f n'est pas une fonction
polynôme, il n'y a donc pas de meilleure approximation de f sur ~[X].
2. Non unicité. On considère ~1 [X], l'espace vectoriel des fonctions polynômes
de degré au plus 1 à coefficients réels muni de la norme 11.11 00
VP E ~i[X], llPlloo = sup IP(x)I.
xE[0,1)
On considère F la droite engendrée par la fonction polynôme fi : x i--+ x.
Tout élément de F est de la forme fa : x i--+ ax où a E ~. Cherchons une
meilleure approximation de la fonction constante 1 dans F. On remarque
que
Va E ~' Ill - falloo = sup Il - fa(x)I 2: Il - fa(O)I = 1.
xE[0,1]
Après quelques calculs, on remarque également que
Va E [O, 2], Ill - falloo = 1.
Ceci indique que, pour tout a E [O, 2], fa est une meilleure approximation
de 1 dans F. On déduit qu'il y' a, dans ce cas, une infinité de meilleures
approximations.
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Proposition 20.13 Soient E un espace préhilbertien, Fun sous-espace vectoriel de E de dimension finie et p la projection orthogonale sur F. Si ( ei, · · · , en)
est une base orthonormée de F, alors
n
Vx E E, p(x) = L < x, ek > ek.
k=l
Evident d'après la relation (20.18).
20. 7 Meilleure approximation
sur un sous espace vectoriel
Attention! On se place dans cette première partie de section dans le cas d'un
espace vectoriel normé non nécessairement préhilbertien.
Définition : Soient E un espace vectoriel normé, F un sous-espace vectoriel de E et x un élément de E. Si Yo est un élément de F vérifiant
llx - Yoll = inf llx - Yll = d(x, F),
yEF
on dit que Yo est une meilleure approximation de x dans F.
Remarque 20.4 Dans un espace vectoriel normé, l'existence ou l'unicité d'une
meilleure approximation ne sont pas toujours assurées.
1. Non existence. Reprenons l'exemple de l'espace préhilbertien C ([O, l], ~) indiqué dans la remarque 20.3. ~[X] est un sous-espace dense. Donc, pour tout
élément f de C ([O, l] , ~), on a d(f, ~[X]) = O. Si f n'est pas une fonction
polynôme, il n'y a donc pas de meilleure approximation de f sur ~[X].
2. Non unicité. On considère ~1 [X], l'espace vectoriel des fonctions polynômes
de degré au plus 1 à coefficients réels muni de la norme 11.11 00
VP E ~i[X], llPlloo = sup IP(x)I.
xE[0,1)
On considère F la droite engendrée par la fonction polynôme fi : x i--+ x.
Tout élément de F est de la forme fa : x i--+ ax où a E ~. Cherchons une
meilleure approximation de la fonction constante 1 dans F. On remarque
que
Va E ~' Ill - falloo = sup Il - fa(x)I 2: Il - fa(O)I = 1.
xE[0,1]
Après quelques calculs, on remarque également que
Va E [O, 2], Ill - falloo = 1.
Ceci indique que, pour tout a E [O, 2], fa est une meilleure approximation
de 1 dans F. On déduit qu'il y' a, dans ce cas, une infinité de meilleures
approximations.