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ESPACES PRÉHILBERTIENS
si et seulement si
n
Vk E {1 · · ·n}, < ek,X >= LYi < ek,ei >= Yk
i=l
si et seulement si
n
y= L < ek,x > ek.
k=l
(20.18)
Il existe donc un unique élément y de P tel que (x - y) appartienne à pl.,
Ainsi,
E = P ffi pl.,
2. Nous savons que P c pl.l. (proposition 20.5). Soit x un élément de pl.l..
Cet élément s'écrit de manière unique sous la forme x = x1 + x 2 où x 1
appartient à P et X2 appartient à pl.. Le vecteur x appartenant à pl.l., on
a< x 2 , x >=O. Ainsi,
On en déduit que X2 = 0, que x = X1 et que x appartient à P. Ainsi,
pl.l. c P. Ce qui termine la preuve.
Remarque 20.3 Pour tout sous-espace vectoriel P d'un espace préhilbertien E,
on a P n pl. = {O}, mais pas nécessairement E = P $pl. si P est de dimension
infinie. On considère par exemple l'espace vectoriel C([O, 1], JR) muni du produit
scalaire
< f,g >= fo
1 f (t)g(t)dt.
On note 11·112 la norme issue de èe produit scalaire. D'après le théorème de Weierstrass, on sait que JR[X] est dense dans C([O, 1],JR) muni de la norme ll·lloo (c'està-dire 11/lloo = supxE[O,lJ lf(x)I). En remarquant que 11·112 ~ ll·lloo, on déduit que
JR[X] est dense dans C([O, 1],JR) muni de la norme 11·112· D'où JR[X]l. = {O} et
C ([O, 1], JR) =!= JR[X] $IR[X]l.. On remarque également que JR[X]l.l. = C([O, 1], JR) =!=
JR[X].
Définition : Soient E un espace préhilbertien et P un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. La proposition précédente nous indique
que E = P$Pl..
.
1. On appelle projection orthogonale sur P la projection sur P parallèlement à pl..
2. On appelle symétrie orthogonale par rapport à Pla symétrie par
rapport à P parallèlement à pl..
3. Ces deux applications sont des endomorphismes de E de norme 1
(si P =/= {O} !).