20.6. PROJECTION ET SYMÉTRIE ORTHOGONALE SUR UN SOUS-ESPACE
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est convergente. Il est d'autre part évident que l'application
r+oo
(P, Q) ~ lo P(t)Q(t)e-tdt
est bilinéaire, symétrique et positive. Montrons qu'elle est définie. Soit P un
fonction polynôme vérifiant
L'application t ~ P 2 (t)e-t est positive et continue sur l'intervalle [O, +oo[.
Elle estdonc nulle sur cet intervalle. On en déduit que
'r/t E [O, +oo[, P(t) = O.
Le polynôme P admettant une infinité de racines est ainsi le polynôme nul.
L'application (P, Q) ~< P, Q > est un produit scalaire.
3. En appliquant l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, on obtient la base orthornormée ( e~» e~ , e~, e3) avec
- e~ = 1,
- e~ =X -1,
- e~ = !(X 2 -4X +2),
- e3 = t(X 3 - 9X 2 + 18X - 6).
20.6 Projection et symétrie orthogonale
sur un sous-espace de dimension finie
Proposition 20.12 Soient E un espace préhilbertien et F un sous-espace de
E de dimension finie. Alors,
1.
E = FEBFl.
2.
F = pl.l..
Preuve.
1. On considère (eih élément X de E, il existe un unique élément y de F tel que (x-y) appartienne
à pl..
Soit y un élément de F. Notons (Yih {eih:5i:5n· L'élément (x - y) appartient à. pl. si et seulement si
'r/k E {1 · · ·n}, < ek,x -y>= 0,