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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Exercice 20.1
1. Montrer que, pour tout entier naturel k, l'intégrale
est convergente et que
2. En déduire que l'application définie sur R.[X] x R.[X] par
r+oo
(P, Q) 1--+< P, Q >= Jo P (t) Q (t) e-tdt,
définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel R.[X].
3. Construire une base orthonormée de R.3 [X].
Solution.
1. Pour tout entier naturel k, notons Pk, la propriété :
Nous avons la propriété Po. Soit k un entier strictement positif. Montrons
que
'Pk-1::::} pk·
L'application t 1-+ tke-t admettant une limite en 0 et +oo, nous pouvons
effectuer une intégration par partie :
Donc
Ce qui termine la preuve. On peut remarquer que l'on peut obtenir ce résultat
grâce à la fonction r (exercice 23.5, page 482) puisque
2. D'après la question précédente, il est évident que pour toutes fonctions polynômiales Pet Q, l'intégrale
roo
(P, Q) 1--+< P, Q >= lo P (t) Q (t) e-tdt