20.5. LE PROCÉDÉ DE GRAM-SCHMIDT
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Remarque 20.2
Schmidt
1. On obtient ainsi l'algorithme d'orthogonalisation de Gram- el= X1
- Pour k = 2 à n faire
k-1
""'< Xk,ei >
ek = Xk - ~ lleill2 ei.
2. On peut parfois préférer une famille orthonormale en normant les vecteurs
ei. Il s'agit alors de l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. On
obtient
- ei = X1
- Pour k = 2 à n faire
e'
ek = llet11 ·
3. Si (xn)nEN est une famille dénombrable de vecteurs libres de E, on peut
construire avec le même procédé une famille orthogonale ou orthonormale
( en)nEN vérifiant
\:/k E N*, Vect { ei,. .. , ek} = Vect { x1,. .. , xk} .
Corollaire 20.10 Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie ou infinie dénombrable de E, alors il existe une base orthonormée pour F.
Proposition 20.11 Soit E un espace préhilbertien, F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E et( e1 , · · · , en) une base orthonormée de F, alors
tout vecteur x élément de F
n
1. x= L: ek
k=l
2. (a) Si E est un :IR-espace vectoriel
n
llxi1 2 = L < x,ek > 2 .
k=l
{b) Si E est un n
llxll 2 =LI< x, ek >1 2 .
k=l