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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Exemple
Sur l'espace vectoriel :F des fonctions continues sur lR et 27rpériodiques muni du produit scalaire :
1111"
(f,g) ~; -11" f (x)g(x)dx,
la famille (~,cos (nt), sin (pt) 1 (n,p) EN* x N*) est orthonormée.
20.5 Le procédé de Gram-Schmidt
Théorème 20.9 (Orthogonalisation de Gram-Schmidt}
Soit E un espace préhilbertien et n un entier strictement positif. Pour
toute famille libre (xi, x2, · · · , Xn) dans E, il existe une famille orthogonale
(ei, e2, · · · , en) dans E telle que :
Vk E {1,2,··· ,n}, Vect{ei,··· ,ek} = Vect{xi,··· ,xk}·
Preuve. On considère (xi, x2, · · · , xn) une famille libre de E. On construit une
famille orthogonale (ei, e2, · · · , en) en procédant par récurrence.
- On choisit e1 = x1. On a donc Vect{ei}=Vect{xi}.
- Soit k E {2, · · · n}. On considère une famille orthogonale (ei, · · · , ek-d,
vérifiant
La famille (e1, · · · , ek-1) engendre un sous-espace de dimension (k -1), elle
est donc une famille libre et tous ses vecteurs sont non nuls. On recherche
un vecteur ek de la forme
La condition d'orthogonalité
Vi E {1, · · · , k - 1 }, < ei, ek >= 0,
est réalisée si et seulement si on choisit
ViE{l,··· ,k-1},
Le vecteur Xk n'appartenant pas à Vect{ xi,··· Xk-d= Vect{ e1, · · · ek_i}, le
vecteur ek ainsi construit est non nul. La famille (e1, e2 · · · ek) est orthogonale, ses vecteurs sont non nuls, elle est donc libre. Les vecteurs ei, · · · , ek
appartiennent à Vect{x1, · · · Xk}· On en déduit que
Vect{ei, · · · ek} = Vect{x1, · · · Xk}·
Ce qui achève la démonstration.