20.4. ORTHOGONALITÉ
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2. Si E est C-espace vectoriel,
V(x,y) E E 2 , llx + Yll 2 = llxll 2 + llYll 2 + 2~(< x,y >) ·
D'où les résultats.
Définition : On appelle famille orthogonale d'un espace préhilbertien
E toute famille ( ei)iEI de vecteurs de E vérifiant
V(i,j) E 1 2 , i # j =>< ei, ei >=O.
Si, de plus,
Vi E J, lleïll = 1,
on dit alors que cette famille est orthonormée ou orthonormale.
Un petit rappel d'algèbre linéaire.
Définition: On dit qu'une famille (ei)iEI d'un espace vectoriel (E, +, .)
est libre si, pour toute partie J non vide et finie de I et pour toute famille
de scalaires (Àj)jEJ indicée par J, on a
I:>jej = 0 => Vj E J, Àj =O.
jEJ
Proposition 20.8 Une famille (ei)iEI orthogonale de vecteurs non nuls d'un
espace préhilbertien E est une fa mille libre.
Preuve. On considère une famille ( ei)iEI orthogonale de vecteurs non nuls d'un
espace préhilbertien E, June partie non vide de I et (Àj)jEJ une famille de réels
indicée par J et vérifiant
Alors,
avec llekll # 0 ainsi Àk =O.