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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Définition : Soit A une partie non vide d'un espace préhilbertien E.
On appelle orthogonal de A noté A .l, la partie de E définie par
A.L = {x E E/Va E A,< a, x >= O}.
Proposition 20.4 Pour toute partie A non vide de E, A.l est un sous-espace
vectoriel de (E, +, .).
Preuve. Évident.
Proposition 20.5 Pour tout sous-espace vectoriel F d'un espace préhilbertien,
on a
F c F.i.i.
Preuve.
F.L ={y E E/Vx E F, < x,y >= O}.
Soit x un élément de F. Alors,
Vy E F.l, < x, y >= O.
Ainsi, x est un élément de F.l.l et F c F.l.l.
Théorème 20.6 (Pythagore) Dans un espace préhilbertien, si deux vecteurs
x et y sont orthogonaux alors :
Attention ! La réciproque est vraie seulement dans un espace préhilbertien réel.
Théorème 20.7 (Réciproque Pythagore) Dans un espace préhilbertien
réel, si deux vecteurs x et y vérifient :
alors ils sont orthogonaux.
Preuves. En utilisant les propriétés du produit scalaire sur ~ ou C, on obtient :
1. Si E est ~-espace vectoriel,
V(x,y) E E 2 , llx + Yll 2 = llxll 2 + llYll 2 + 2 < x,y > ·