20.3. PROPRIÉTÉS
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Preuve.
1. Voir l'exercice 12.1, page 165.
2. Il est évident que cette application est une forme bilinéaire positive. Montrons
qu'elle est définie. On considère une application f continue sur le segment
[a, b] à valeurs réelles vérifiant
L'application j2w étant continue et à valeurs réelles positives, on en déduit
qu'elle est nulle sur le segment [a, b]. La stricte positivité de l'application w
permet de conclure.
3. Voir la proposition 15.20, page 255 et sa preuve.
4. Réponse au prochain numéro. Soyez patient !
20.3 Propriétés
Les propositions suivantes ont déjà été indiqués dans la section 1.4, page 7.
Nous les rappelons ici. Vous pouvez retrouver les preuves dans la section citée.
Proposition 20.1 Soit E un espace préhilbertien. L'application définie sur E
à valeurs dans lR par
X-----+ J< X,X >,
est une norme appelée norme euclidienne. On note J< x,x > = llxll·
Proposition 20.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit E un espace préhilbertien. Alors
V(x,y) E E 2 , 11::; llxll.llYll
Proposition 20.3 Soit E un espace préhilbertien. On a,
V(x, y) E E 2 , llx + Yll 2 + llx - Yll 2 = 2 (llxll 2 + llYll 2 ) ·
Cette égalité est appelée identité du parallèlogramme. Elle est caractéristique
des normes euclidiennes.
20.4 Orthogonalité
Il
Définition : Deux vecteurs x et y appartenant à un espace préhilbertien
E sont orthogonaux si < x, y>= O.