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ESPACES PRÉHILBERTIENS
Définition : Soit E un C-espace vectoriel. On appelle produit scalaire
sur E, toute application
< ., . > : E X E --+ c
étant,
1. à symétrie hermitienne i. e. V(x, y) E E 2 , = < x, y>
2. linéaire à droite i. e.
V(x,y1,Y2) E E 3 ,V(> . . ,µ) E C 2 < x,Ày1 +µy2 >=À< x,y1 >
+µ < x,y2 >
3. positive i. e. \lx E E, < x, x >E JR.+
4. définie i. e. \lx E E, < x, x >= 0 ===? x = O.
Il
Définition : Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé
espace préhilbertien.
20.2 Exemples
Voici quelques exemples d'espaces préhilbertiens en plus des exemples indiqués
à la section 1.4.2, page 8.
1. Sur l'espace vectoriel :F des fonctions continues sur lR. et 27r-périodiques,
l'application
1111"
(f,g) i-t; -71" f (x)g(x)dx
définit un produit scalaire sur :F.
2. Soit I = [a, b] un segment, et w une fonction continue sur [a, b] à valeurs
réelles strictement positives, alors l'application :
(f,g) i-t lb f(x)g(x)w(x)dx
définit un produit scalaire sur C([a, b], JR.).
3. L'ensemble l 2 (JR.) des suites réelles ( Un)nEl\I vérifiant
+=
L::u~ < +oo,
n=O
est un espace vectoriel sur R L'application définie sur l 2 (JR.) x l 2 (JR.) par
+=
((un)nEl\I, (vn)nEN) f--+ L Un.Vn,
n=O
est un produit scalaire sur l 2 (JR.).
4. L'espace préhilbertien V, au menu du chapitre 21 sur les séries de Fourier.