Chapitre 20
Espaces préhilbertiens
Les définitions du produit scalaire, d'un espace préhilbertien, de la norme euclidienne et de la norme hermitienne ont déjà été indiqués dans la section 1.4, page
7. Nous les rappelons ici dans le cadre des espaces préhilbertiens. Dans ce chapitre,
E représente un espace vectoriel sur OC = Ill ou C.
20.1 Définition d'un espace préhilbertien
20.1.1 Définitions
Attention! Pour définir le produit scalaire, nous devons différencier les cas
OC = Ill et OC = C.
Définition : Soit E un Ill-espace vectoriel. On appelle produit scalaire
sur E, toute application
< ., . > : E X E --t Ill
étant,
l. symétrique i. e. V(x, y) E E 2 , =< x, y>
2. linéaire à droite i. e.
V(x,y1,y2) E E 3 ,V(> . . ,µ) E lll 2 < x,>..y1 +µy2 >= >. . < x,y1 >
+µ < x,y2 >
3. positive i. e. Vx E E, < x, x >E Jll+
4. définie i. e. Vx E E, < x, x >= 0 ===} x = O.
Remarque 20.1 Les propriétés 1 et 2 permettent de dire que le produit scalaire
réel est linéaire à gauche donc bilinéaire.